รายวิชาคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ ภาคเรียนที่ 1/2569

รหัสวิชา 21910-2009 รายวิชา คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ หน่วยกิต 2
บรรยาย/ทฤษฎี 1ปฏิบัติ 2 ศึกษาค้นคว้าด้วยตัวเอง 0 ปีหลักสูตร 2567ประเภทวิชา รายวิชาส่วนกลาง
จุดประสงค์รายวิชา
1. รู้และเข้าใจเกี่ยวกับ วิวัฒนาการของตัวเลข ระบบจำนวน ระบบเลขฐาน ทฤษฎีเซต ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตรรกศาสตร์ พีชคณิตบูลีน แมทริกซ์ ระบบสมการเชิงเส้น
2. มีทักษะกระบวนการคิดและแก้ปัญหาเกี่ยวกับ ระบบจำนวน ระบบเลขฐาน ทฤษฎีเซต ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตรรกศาสตร์ พีชคณิตบูลีน แมทริกซ์ ระบบสมการเชิงเส้น
3. มีเจตคติและกิจนิสัยที่ดีในการวิเคราะห์และแก้ไขปัญหาในสถานการณ์ต่าง ๆ อย่างเป็นระบบ
4. มีความสามารถประยุกต์ใช้ทฤษฎี ระบบจำนวน ระบบเลขฐาน ทฤษฎีเซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน ตรรกศาสตร์ พีชคณิตบูลีน แมทริกซ์ ระบบสมการเชิงเส้นในกระบวนการคำนวณทางคอมพิวเตอร์
สมรรถนะรายวิชา
1. แสดงความรู้เกี่ยวกับ ระบบจำนวน ระบบเลขฐาน ทฤษฎีเซต ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตรรกศาสตร์ พีชคณิตบูลีน แมทริกซ์ ระบบสมการเชิงเส้นตามหลักการ
2. คำนวนทางคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ตามหลักการ
3. ประยุกต์ใช้ความรู้เกี่ยวกับและทักษะเกี่ยวกับกระบวนการคำนวณทางคอมพิวเตอร์ในการพัฒนางานอาชีพ
คำอธิบายรายวิชา
ศึกษาและปฏิบัติเกี่ยวกับวิวัฒนาการของตัวเลข ระบบจำนวน ระบบเลขฐาน ทฤษฎีเซต ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตรรกศาสตร์ พีชคณิตบูลีน แมทริกซ์ ระบบสมการเชิงเส้น กระบวนการคำนวนทางคอมพิวเตอร์

หน่วยที่ 1วิวัฒนาการและโครงสร้างของระบบจำนวน

วิวัฒนาการของคณิตศาสตร์และระบบจำนวน

ยุคบาบิโลน (Babylon) อารยธรรมบาบิโลนตั้งอยู่ใกล้เมโสโปเตเมีย มีการใช้ระบบฐาน 60 ในการคำนวณ รู้จักเรขาคณิต ดาราศาสตร์ และการวัดเวลา เช่น 365 วันต่อปี, 24 ชั่วโมงต่อวัน, 60 นาทีต่อชั่วโมง

เธลีส (Thales) นักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ ผู้ใช้เรขาคณิตในการวัดความสูงและระยะทาง
ปีทาโกรัส (Pythagoras) ผู้ศึกษาความสัมพันธ์ของตัวเลขและทฤษฎีบทปีทาโกรัส เชื่อว่าตัวเลขมีความสำคัญต่อธรรมชาติและการเรียนรู้
ยุคลิด (Euclid) นักคณิตศาสตร์กรีก ผู้รวบรวมความรู้ทางเรขาคณิตอย่างเป็นระบบ กำหนดจุด เส้น และระนาบ พร้อมวางหลักการเรขาคณิต
อาร์คิมิดีส (Archimedes) นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ ผู้ศึกษาปริมาตร แรงลอยตัว และคิดค้นเครื่องจักรต่าง ๆ

• วิวัฒนาการในยุคอียิปต์โบราณ: มีการใช้อักษรภาพไฮโรกลิฟ (Hieroglyph) ในการบันทึกจำนวน และมีความเชี่ยวชาญในการใช้เศษส่วนเพื่อการคำนวณงานวิศวกรรม
  • ตัวอย่าง: การคำนวณหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมและการหาปริมาตรทรงกระบอกเพื่อสร้างพีระมิด
• วิวัฒนาการในยุคบาบิโลน: มีการบันทึกจำนวนลงบนแผ่นดินเหนียว และเป็นผู้ริเริ่มใช้ระบบเลขฐาน 60 ซึ่งยังคงเป็นรากฐานของการวัดเวลาและมุมในปัจจุบัน
  • ตัวอย่าง: การกำหนดให้ 1 ชั่วโมงมี 60 นาที และ 1 วินาทีมี 60 วินาที
• บทบาทของนักปราชญ์ต่อระบบจำนวน: นักปราชญ์ชาวกรีกได้เปลี่ยนการใช้จำนวนจากการนับเพื่ออยู่รอดไปสู่การใช้เหตุผลเชิงคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์
  • ตัวอย่าง: เทลีส คำนวณความสูงของพีระมิดโดยใช้เงา และอาร์คีมีดีส ค้นพบค่าประมาณของพาย (π)

โครงสร้างของระบบจำนวน ตามที่ปรากฏในแหล่งข้อมูล คือการจัดลำดับความสัมพันธ์ของจำนวนประเภทต่าง ๆ ที่มนุษย์ได้คิดค้นขึ้นมาอย่างเป็นระบบ เพื่อให้ครอบคลุมทุกปริมาณและความเป็นไปได้ทางคณิตศาสตร์ โดยในบริบทที่กว้างขึ้นของระบบจำนวน สามารถอธิบายความเชื่อมโยงได้ดังนี้

1. ระดับสูงสุดของโครงสร้าง: จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers) ในเชิงโครงสร้าง จำนวนเชิงซ้อนคือระบบจำนวนที่ใหญ่ที่สุดซึ่งทำหน้าที่เป็นกรอบใหญ่ครอบคลุมจำนวนทุกชนิด ประกอบด้วยสองส่วนหลักคือ จำนวนจริง (Real Numbers) และ จำนวนจินตภาพ (Imaginary Numbers), การจัดระเบียบเช่นนี้ช่วยให้สามารถแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ระบบจำนวนจริงเพียงอย่างเดียวไม่สามารถให้คำตอบได้ เช่น การหาค่ารากที่สองของจำนวนที่ติดลบ,

2. การแบ่งประเภทภายในจำนวนจริง (Real Numbers) จำนวนจริงคือจำนวนที่มนุษย์ใช้สื่อความหมายถึงค่าที่มีอยู่จริงหรือค่าโดยรวม โดยมีสัญลักษณ์แทนคือ R ภายใต้โครงสร้างของจำนวนจริงจะแบ่งออกเป็นสองกิ่งก้านสำคัญตามลักษณะการเขียนคือ:

• จำนวนอตรรกยะ (Irrational Numbers): คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ เช่น ค่าพาย (π) หรือรากที่ถอดไม่ลงตัว
• จำนวนตรรกยะ (Rational Numbers): คือจำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ โดยใช้สัญลักษณ์แทนคือ Q

3. องค์ประกอบย่อยของจำนวนตรรกยะ ภายใต้โครงสร้างของจำนวนตรรกยะ แหล่งข้อมูลได้แบ่งความสัมพันธ์ออกเป็นกลุ่มที่ละเอียดและชัดเจนขึ้น เพื่อรองรับการใช้งานที่หลากหลาย, ได้แก่:

ความแตกต่างระหว่างจำนวนและตัวเลข:จำนวน (Number) คือคำที่ใช้แสดงปริมาณมากหรือน้อย ส่วนตัวเลข (Numeral) คือสัญลักษณ์ที่มนุษย์ประดิษฐ์ขึ้นเพื่อใช้แทนจำนวนนั้น,

• ตัวอย่าง: ตัวเลขไทย ตัวเลขฮินดู-อารบิก และตัวเลขโรมัน

• จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers): เป็นระบบจำนวนที่ใหญ่ที่สุด ประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนจินตภาพ เขียนในรูป a+bi,
  • ตัวอย่าง: 2+3i, 3−2i และ 9+7i
• จำนวนจินตภาพ (Imaginary Numbers): จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจริง มักอยู่ในรูปของจำนวนลบที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรากที่สอง และไม่สามารถหาค่าที่แท้จริงบนเส้นจำนวนได้
  • ตัวอย่าง: −2​, −5​ และ −8​
• จำนวนจริง (Real Numbers): จำนวนที่มีค่าอย่างแท้จริงหรือค่าโดยรวม ประกอบด้วยจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย R,
  • ตัวอย่าง: 3, −8, 0.455, 11​ และ 15,250
• จำนวนอตรรกยะ (Irrational Numbers): จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ มักเป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำ
  • ตัวอย่าง: 0.123456…, 3.141592… (π) และ 2​
• จำนวนตรรกยะ (Rational Numbers): จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ (a/b โดยที่ b=0) ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย Q
  • ตัวอย่าง: −2, 0, 100, 3/4 และทศนิยมซ้ำอย่าง 0.222…,
• จำนวนเต็ม (Integers): สมาชิกของเซตจำนวนที่ประกอบด้วยจำนวนเต็มบวก (จำนวนนับ) ศูนย์ และจำนวนเต็มลบ
  • ตัวอย่าง: จำนวนเต็มบวก (1,2,3…), จำนวนเต็มลบ (−1,−2,−3…) และ 0
• เศษส่วน (Fraction Numbers): จำนวนที่เกิดจากจำนวนเต็มสองจำนวนหารกัน โดยแบ่งเป็นเศษส่วนธรรมดา (ตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน) และเศษส่วนเกิน (ตัวเศษมากกว่าตัวส่วน)
  • ตัวอย่าง: 3/4 (เศษส่วนธรรมดา) และ 4/3 (เศษส่วนเกิน)
• ทศนิยมซ้ำ (Repeated Decimal Numbers): ทศนิยมที่มีตัวเลขหลังจุดซ้ำกันอย่างเป็นระบบ สามารถเปลี่ยนกลับเป็นเศษส่วนได้เสมอ
  • ตัวอย่าง: 0.333… (มีค่าเท่ากับ 1/3) และ 0.666… (มีค่าเท่ากับ 2/3)